Question

20．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，且點(diǎn)M（1，e）在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖所示，A、B是橢圓C上的兩點(diǎn)，且|AB|=$\sqrt{3}$，求△AOB的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)為F的最大距離是$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，M（1，e）在橢圓上，建立方程組，即可求橢圓的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示出面積，利用配方法可求最值，從而可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{a+c=\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=3，b²=1
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△ABO的面積為S．
如果AB⊥x軸，由對(duì)稱性不妨記A的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），此時(shí)S=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}•\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$；
如果AB不垂直于x軸，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，可得x²+3（kx+m）²=3，
即（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
又△=36k²m²-4（1+3k²）（3m²-3）＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=$\frac{12（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}{（1+3{k}^{2}）^{2}}$ ①，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|$及|AB|=$\sqrt{3}$，得（x₁-x₂）²=$\frac{3}{1+{k}^{2}}$ ②，
由①②可得m²=（1+3k²）-$\frac{（1+3{k}^{2}）^{2}}{4（1+{k}^{2}）}$．
又原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\sqrt{3}$，
因此S²=-$\frac{3}{16}$$（\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2）^{2}+\frac{3}{4}$，
∵$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=3-\frac{2}{1+{k}^{2}}∈[1，3）$，
∴$\frac{1+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}-2∈[-1，1）$，
則${S}^{2}∈[\frac{9}{16}，\frac{3}{4}]$，
∴S$∈[\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．
故△AOB的面積的取值范圍是$[\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．