Question

已知定義在（0，1）上的函數(shù)f（x），對任意的m，n∈（1，+∞）且m＜n時，都有f（

1

m

）-f（

1

n

）=f（

m-n

1-mn

）．記a_n=f（

1

n2+5n+5

），n∈N^*，則在數(shù)列{a_n}中，a₁+a₂+…+a₈的值為（　�。�

• A、f（

  1

  2

  ）
• B、f（

  1

  3

  ）
• C、f（

  1

  4

  ）
• D、f（

  1

  5

  ）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題

分析：根據(jù)f（

1

m

）-f（

1

n

）=f（

m-n

1-mn

）．得a_n=f（

1

n2+5n+5

）=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），再用裂項相消法求“a₁+a₂+…a₈”

解答： 解：f（

1

m

）-f（

1

n

）=f（

m-n

1-mn

）．a_n=f（

1

n2+5n+5

）=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），
∴a₁+a₂+…a₈=f（

1

3

）-f（

1

4

）+f（

1

4

）-f（

1

5

）+…f（

1

10

）-f（

1

11

）
=f（

1

3

）-f（

1

11

）
=f（

1

4

）．
故選：C．

點評：本題主要考查數(shù)列的求和問題，關鍵是理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項，本題的關鍵是將通項分拆為：a_n=f（

1

n2+5n+5

）=f（

1

n+2

）-f（

1

n+3

），