Question

已知函數(shù)f（x）=acos²x-sinxcosx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（

π

8

，

1

2

），其中常數(shù)a∈R．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

π

8

，

3π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先利用正弦和余弦的倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)為一個(gè)三角函數(shù)名稱的形式然后求周期即最值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=a

cos2x+1

2

-

1

2

sin2x=

a

2

cos2x-

1

2

sin2x+

a

2

由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（

π

8

，

1

2

）知道f（

π

8

)=

1

2

=

1

2

，即

a

2

cos

π

4

-

1

2

sin

π

4

+

a

2

=

1

2

，解得a=1．
∴f（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

=

2

2

cos(2x+

π

4

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）當(dāng)
x∈[

π

8

，

3π

4

]時(shí)，2x+

π

4

∈[

π

2

，

7π

4

]，
∴當(dāng)2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

時(shí)，f（x）_min=

1- 2

2

；
當(dāng)2x+

π

4

=

7π

4

，即x=

3π

4

時(shí)，f（x）_max=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)以及區(qū)間的最值求法，需要熟練倍角公式以及弦函數(shù)的有界性求最值．