Question

已知f（x）=log₂ （-1＜x＜1）．
（1）若f（a）+f（b）=0，求證：a+b=0；
（2）設(shè)，求x的值；
（3）設(shè)x₁、x₂∈（-1，1），是否存在x₃∈（-1，1），使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)通過f（a）+f（b）=0，化簡(jiǎn)即可得到a+b=0；
（2）通過化簡(jiǎn)方程，，即可直接求出x的值；
（3）通過f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），直接求出x₃，然后利用分析法證明結(jié)論．
解答：解：（1）證明：由f（a）+f（b）=0得，
，∴（1-a）（1-b）=（1+a）（1+b），化簡(jiǎn)得a+b=0．…（4分）
（2）解：，，，
由得，解得．…（8分）
（3）解：假設(shè)存在x₃∈（-1，1）使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），…（9分）
∵，，
∴，解得，…（12分）
下證，
先用分析法證明，∵x₁、x₂∈（-1，1），∴1+x₁x₂＞0．
要證明，即要證x₁+x₂＜1+x₁x₂，即要證（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∵x₁、x₂∈（-1，1），∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
同理可證，…（15分）
所以存在，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃）．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，分析法證明問題的方法，考查分析問題解決問題的能力．