Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明對(duì)一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(

x

ex

-

2

e

)成立．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．再驗(yàn)證是否滿足函數(shù)取得極小值的條件即可．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，?a≥(2lnx+x+

3

x

)min．令h（x）=2lnx+x+

3

x

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值最值即可．
（III）令u(x)=2(

x

ex

-

2

e

)，利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值，再利用（I）的結(jié)論即可．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
故當(dāng)x=

1

e

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值為-

2

e

．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．
?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，?a≥(2lnx+x+

3

x

)min．
令h(x)=2lnx+x+

3

x

，則h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，h（x）取得最小值4．因此a≥4．
（III）令u(x)=2(

x

ex

-

2

e

)，則u′（x）=

2(1-x)

ex

．
令u′（x）=0，解得x=1；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，u′（x）＞0，函數(shù)u（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，u′（x）＜0，函數(shù)u（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)u（x）取得最大值-

2

e

．
故對(duì)一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(

x

ex

-

2

e

)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、存在性問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．