Question

已知兩點(diǎn)及，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)如圖，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，且，

． 求四邊形面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 ，先定位后定量.由等差中項(xiàng)得，根據(jù)橢圓定義，得，又，所以可求，由橢圓焦點(diǎn)在軸，寫出橢圓方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，并利用列方程，得的等式，求四邊形面積的最大值，關(guān)鍵在于建立關(guān)于面積的目標(biāo)函數(shù)，然后確定函數(shù)的最大值即可，分和討論，當(dāng)時(shí)，結(jié)合平面幾何知識(shí)，得（其中表示兩焦點(diǎn)到直線的距離），再結(jié)合得關(guān)于的函數(shù)，并求其范圍；當(dāng)時(shí)，該四邊形是矩形，求其面積，從而確定的范圍，進(jìn)而確定最大值.

 

試題解析：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為．

構(gòu)成等差數(shù)列，

， ．

又，．

橢圓的方程為．

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得，由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，，化簡(jiǎn)得：．

設(shè)，，   （法一）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，則，，  

，

，當(dāng)時(shí)，，，．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，．所以四邊形面積的最大值為．

（法二），

．

．

四邊形的面積，

．

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故．

所以四邊形的面積的最大值為．

考點(diǎn)：1、等差中項(xiàng)；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線和橢圓的位置關(guān)系.