Question

已知三棱錐O-ABC，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱錐O-ABC的體積為

5

4

，求球的表面積．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：球

分析：求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出O到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積．

解答： 解：三棱錐O-ABC，A、B、C三點(diǎn)均在球心O的表面上，且AB=BC=1，∠ABC=120°，BC=

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×1×1×sin120°=

3

4

，
∵三棱錐O-ABC的體積為

5

4

，△ABC的外接圓的圓心為G，∴OG⊥⊙G，
外接圓的半徑為：GA=

3

2sin120°

=1，
∴

1

3

S_△ABC•OG=

5

4

，即

1

3

×

3

4

OG=

5

4

，
OG=

15

，
球的半徑為：

AG2+OG2

=4．
球的表面積：4π4²=64π．

點(diǎn)評：本題考查球的表面積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．