Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F(-

2

，0)，離心率e=

2

2

，M，N是橢圓上的動點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動點(diǎn)P滿足：

OP

=

OM

+2

ON

，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，問：是否存在定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，使得|PF₁|+|PF₂|為定值？，若存在，求出F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)M在x軸上的射影為A，連接NA并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線MN、MB的斜率分別為k_MN、k_MB，求k_MN•k_MB的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F(-

2

，0)，離心率e=

2

2

，可得c=

2

，a=2，利用b=

a2-c2

=

2

，可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）將

OP

=

OM

+2

ON

坐標(biāo)化，利用直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，可計算x²+2y²=20，從而可知存在定點(diǎn)F₁(-

10

，0)，F(xiàn)₂(

10

，0)，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．
（Ⅲ）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（-x₀，-y₀），A坐標(biāo)為（x₀，0），，寫出直線NA方程為和橢圓聯(lián)立，可求得B的坐標(biāo)（x，y），進(jìn)而可計算k_MB，k_MN，即可求得k_MN•k_MB的值．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F(-

2

，0)，離心率e=

2

2

，
∴c=

2

，a=2
∴b=

a2-c2

=

2

∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），M（x₁，y₁ ）、N（x₂，y₂ ）．
∵

OP

=

OM

+2

ON

，
∴（x，y）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），∴x=x₁+2x₂，y=y₁+2y₂，
∵M(jìn)、N是橢圓上的點(diǎn)，∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1．
∴x²+2y²=（x₁+2x₂）²+2 （y₁+2y₂）²=（x₁²+2y₁² ）+4（x₂²+2y₂² ）+4（x₁x₂+2y₁y₂）=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）．
∵直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴x²+2y²=20，即

x2

20

+

y2

10

=1
∴存在定點(diǎn)F₁(-

10

，0)，F(xiàn)₂(

10

，0)，使得|PF₁|+|PF₂|為定值．
（Ⅲ）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），則N點(diǎn)坐標(biāo)為（-x₀，-y₀），A坐標(biāo)為（x₀，0），
直線NA方程為y=

y0

2x0

(x-x0)和橢圓聯(lián)立

y= y0 2x0 (x-x0) x2 4 + y2 2 =1

，消去y整理得
(1+

y02

2x02

)x2-

y02

x0

x-4+

y02

2

=0
設(shè)B（x，y），則-x₀+x=

2x0y02

2x02+ y02

，∴y-y₀=

-2y0x02

2x02+y02

∴

y-y0

x-x0

=-

x0

y0

，∴k_MB=-

x0

y0

∵k_MN=

y0

x0

，
∴k_MN•k_MB=-1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查存在性問題的探求，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生運(yùn)算、分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．