Question

如圖，已知正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45°，AB＝a．

(1)求截面EAC的面積

(2)求異面直線A₁B₁與AC之間的距離

(3)求三棱錐B₁－EAC的體積

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)連結(jié)DB交AC于O，連結(jié)EO． 　　∵底面ABCD是正方形 　　∴DO⊥AC 　　又∵ED⊥底面AC∴EO⊥AC 　　∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角 　　∴∠EOD＝45° 　　DO＝a，AC＝a，EO＝a·sec45°＝a． 　　故SΔEAC＝a2． 　　(2)解：由題設(shè)ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，得A1A⊥底面AC，A1A⊥AC． 　　又A1A⊥A1B1 　　∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線 　　∵D1B∥面EAC，且面D1BD與面EAC交線為EO 　　∴D1B∥EO 　　又O是DB的中點 　　∴E是D1D的中點，D1B＝2EO＝2a． 　　∴D1D＝＝a． 　　異面直線A1B1與AC間的距離為a． 　　連結(jié)B1O，則＝2 　　∵AO⊥面BDD1B1 　　∴AO是三棱錐A－EOB1的高，AO＝a． 　　在正方形BDD1B1中，E、O分別是D1D、DB的中點 　　則：＝a2． 　　∴＝2··a2·a＝a3 　　所以三棱錐B1－EAC的體積是a3．