Question

（1）已知f（x）=2+log₄x（1≤x≤16），求函數(shù)g（x）=[f（x）]²+f（x²）的值域．
（2）若直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數(shù)y=[f（x）]²+f（x²）的定義域，然后將函數(shù)化成關(guān)于log₄x的二次函數(shù)，進(jìn)行配方找出對(duì)稱軸，而0≤log₄x≤2，利用對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求出最值，即可求出值域．
（2）分別作出直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象，如圖所示，由數(shù)形結(jié)合易得結(jié)果．
解答：解：（1）由已知得：

又⇒1≤x≤4，
令log₄x=t，則g（x）=h（t）=t²+6t+6（0≤t≤1）
∵h(yuǎn)（t）在[0，1]上為增函數(shù)，
∴h（t）_min=h（0）=6，h（t）_max=h（1）=13，
∴g（x）的值域?yàn)閇6，13]．
（2）直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象，如圖所示，
直線y=4a與y=|a^x-2|（a＞0且a≠1）的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，
由數(shù)形結(jié)合易得：．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了帶絕對(duì)值的函數(shù)、函數(shù)的值域．本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體考查二次函數(shù)的值域，屬于求二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是定義域，屬于基本題．