如圖,函數(shù)f(x)=x+的定義域為(0,+∞).設點P是函數(shù)圖象上任一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M,N.

(1)證明:|PM|·|PN|為定值.

(2)O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.

 

(1)見解析 (2) +1

【解析】(1)設P(x0,x0+)(x0>0).

則|PN|=x0,|PM|==,

因此|PM|·|PN|=1.

(2)連接OP,直線PM的方程為

y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.

解方程組

得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.

S四邊形OMPN=S△NPO+S△OPM

=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|

=x0(x0+)+(x0+)

=+(+)

≥+1,

當且僅當x0=,即x0=1時等號成立,因此四邊形OMPN面積的最小值為+1.

 

練習冊系列答案
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過雙曲線的右焦點F作實軸所在直線的垂線,交雙曲線于A,B兩點,設雙曲線的左頂點為M,若點M在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,則此雙曲線的離心率e的取值范圍為　　　　　　.

 

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過點Q(-2,)作圓O:x2+y2=r2(r>0)的切線,切點為D,且|QD|=4.

(1)求r的值.

(2)設P是圓O上位于第一象限內(nèi)的任意一點,過點P作圓O的切線l,且l交x軸于點A,交y軸于點B,設=+,求||的最小值(O為坐標原點).

 

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設橢圓方程為x2+=1,過點M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點,O是坐標原點,點P滿足=(+),當l繞點M旋轉(zhuǎn)時,動點P的軌跡方程為　　　　　.

 

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設動點P在直線x=1上,O為坐標原點,以OP為直角邊、點O為直角頂點作等腰直角△OPQ,則動點Q的軌跡是(　　)

(A)圓 (B)兩條平行直線

(C)拋物線 (D)雙曲線

 

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若動點A(x1,y1),B(x2,y2)分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移動,則線段AB的中點M到原點的距離的最小值為(　　)

(A)2 (B)3 (C)3 (D)4

 

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對任意實數(shù)a,直線y=ax-3a+2所經(jīng)過的定點是(　　)

(A)(2,3) (B)(3,2)

(C)(-2,3) (D)(3,-2)

 

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(1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB.

(2)立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN,且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻,攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN(設為θ)是否存在最大值?若存在,請求出∠MSN取最大值時cosθ的值;若不存在,請說明理由.

 

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(A)(B)π(C)π(D)π

 

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