定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，且函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，對于下列命題：
①函數(shù)f（x）是以T=2為周期的函數(shù)；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④函數(shù)f（x）的最大值為f（2）；
⑤f（2011）=0．
其中正確結(jié)論的序號為（　�。�
A、①③⑤B、②③⑤C、②③④D、①④⑤
分析：由題意定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，說明該函數(shù)的周期為T=4，又有函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，說明函數(shù)f（x）應(yīng)該有對稱中心（1，0）
解答：解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+2）+f（x）=0，即：f（x+2）=-f（x）對于一切x都成立，式子中的x被x+2代替得到：f（x+4）=-f（x+2）=f（x），有函數(shù)的周期的定義可以得到：函數(shù)f（x）的周期T=4，所以①錯；
  又∵函數(shù)f（x+1）為奇函數(shù)，即函數(shù)f（x）向左平移一個單位以后關(guān)于（0，0）對稱，
∴平移之前的圖象應(yīng)該關(guān)于（1，0）對稱，故②正確；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x+1）=y為奇函數(shù)，
∴
f(x+2)=-f(x)
f(-x+1)=-f(x+1)
?
f(x+3)=-f(x+1)
f(-x+1)=-f(x+1)
?f（x+3）=f（-x+1）?函數(shù)f（x）有對稱軸x=2，所以③正確；
對于⑤由于f（1）=0，所以f（2011）=f（502×4+3）=f（3）=-f（1）=0，故⑤正確．
故選B
點(diǎn)評：此題考查了函數(shù)的周期定義及利用定義求函數(shù)的周期，還考查了函數(shù)的對稱及與圖象的平移變換，還考查了復(fù)合函數(shù)的奇函數(shù)的定義式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，f（x）=sinx，則f（
5π
3
）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

20、已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，當(dāng)x∈（0，4）時，f（x）=x2-1，則f（2010）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值與最小值的差為4，相鄰兩個最低點(diǎn)之間距離為π，函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）圖象所有對稱中心都在f（x）圖象的對稱軸上．
（1）求f（x）的表達(dá)式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f（x）一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（　�。�

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