已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
2
2
），且離心率為
2
2
，過點(diǎn)B（2，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范圍．
（Ⅰ）由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
2
2
），且離心率為
2
2
，
可得
e=
c
a
=
2
2
1
a2
+
1
2b2
=1
a2=b2+c2
，解得
a2=2
b=c=1
．
∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x-2）．
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，得0≤k2＜
1
2
．
∴x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8k2-2
1+2k2
．
∵
BM
=(x1-2，y1)，
BN
=(x2-2，y2)，
∴
BM
•
BN
=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]=(1+k2)
2
1+2k2
=1+
1
1+2k2
，
∵0≤k2＜
1
2
，∴
3
2
＜1+
1
2k2
≤2，
∴
.
BM
•
.
BN
的取值范圍是(
3
2
，2]．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推算出”黃金雙曲線”的離心率e等于  ▲     

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

直線y=x+2與雙曲線
x2
m
-
y2
3
=1有兩個公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞-1且m≠3B．0＜m＜7且m≠3C．m＞7D．m＜0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(diǎn)(
2
，
6
2
)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M．
（�。┰O(shè)直線OM的斜率為k1，直線BP的斜率為k2，求證：k1k2為定值；
（ⅱ）設(shè)過點(diǎn)M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)（1，
3
2
），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，且離心率e=
1
2

（1）求橢圓C的方程．
（2）已知A為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若AM、AN的斜率k1，k2滿足k1+k2=-
1
2
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓G：x2+y2-2x-
2
y=0，經(jīng)過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過圓外一點(diǎn)（m，0）（m＞a）傾斜角為
5π
6
的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓E1方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，圓E2方程為x2+y2=a2，過橢圓的左頂點(diǎn)A作斜率為k1直線l1與橢圓E1和圓E2分別相交于B、C．
（Ⅰ）若k1=1時，B恰好為線段AC的中點(diǎn)，試求橢圓E1的離心率e；
（Ⅱ）若橢圓E1的離心率e=
1
2
，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)|BA|+|BF2|=2a時，求k1的值；
（Ⅲ）設(shè)D為圓E2上不同于A的一點(diǎn)，直線AD的斜率為k2，當(dāng)
k1
k2
=
b2
a2
時，試問直線BD是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C與雙曲線
x2
2
-
y2
6
=1有相同焦點(diǎn)F1和F2，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為8
3
．若直線y=t（t＞0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E、F，以線段EF為直徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與x軸相切，求圓M被直線x-
3
y+1=0截得的線段長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)P（-1，
3
2
）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，PF1⊥x軸．
①求橢圓C的方程；
②設(shè)A、B是橢圓C上兩個動點(diǎn)，滿足
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）求直線AB的斜率．

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