Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為非零常數(shù)，θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin（）=2．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說(shuō)明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線l與曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由于t≠0，可將曲線C的方程化為普通方程：+y²=4，分t=±1和t≠±1時(shí)，分別討論曲線
的形狀．
（Ⅱ）直線與切線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量知識(shí)，可求實(shí)數(shù)t的值．
解答：解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可將曲線C的方程化為普通方程：+y²=4．…（2分）
①t=±1時(shí)，曲線C為圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓；              …（4分）
②當(dāng)t≠±1時(shí)，曲線C為中心在原點(diǎn)的橢圓．…（6分）
（Ⅱ）直線l的普通方程為：x-y+4=0．…（8分）
聯(lián)立直線與曲線的方程，消y得+（x+4）²=4，化簡(jiǎn)得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直線l與曲線C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3
又x₁+x2=-，x₁x₂=，…（                   …（10分）
故 =x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+4）（x₂+4）=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3與t²＞3相矛盾． 故不存在滿足題意的實(shí)數(shù)t．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的參數(shù)方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．