Question

17．已知函數(shù)f（x）=$sinx（cosx-\sqrt{3}sinx）$．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{6}）$的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[$0，\frac{π}{2}$]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先進行化簡，利用代入法進行求解即可．
（Ⅱ）求出角的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知，$f（x）=sinx•cosx-\sqrt{3}{sin^2}x$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}（1-cos2x）}}{2}$…（2分）
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sin（2x+\frac{π}{3}）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（4分）
由此可知，$f（\frac{π}{6}）=0$．…（6分）
（Ⅱ）由$0≤x≤\frac{π}{2}$可知，$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，進而$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{2x+\frac{π}{3}}）≤1$，…（8分）
當$0≤x≤\frac{π}{2}$時，$f（x）∈[-\sqrt{3}，1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$，…（9分）
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為$1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，最小值為$-\sqrt{3}$． …（13分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求解，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．