Question

已知函數(shù)f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，（a＞0，a≠1）
（1）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f（x）-4＜0恒成立，求a得取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分a＞1和 0＜a＜1兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，證明f（x）在R上的單調(diào)性．
（2）因?yàn)閒（x）在（-∞，2）單調(diào)遞增，f（x）-4＜0恒成立，可得

a

a2-1

(a2-a-2)≤4，由此解得a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）在R上是增函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂ ，
由于f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x2)-

a

a2-1

(ax2-a-x2) 
=

a

a2-1

(ax1-ax2)•

ax1ax2+1

ax1ax2

，
由題設(shè)可得 ax1ax2+1＞0，ax1ax2＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)閤₁＜x₂，ax1-ax2＜0，

a

a2-1

＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是增函數(shù)．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，因?yàn)閤₁＜x₂，ax1-ax2＞0，

a

a2-1

＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在R上是增函數(shù)．
綜上，f（x）在R上是增函數(shù)．
（2）因?yàn)閒（x）在（-∞，2）單調(diào)遞增，f（x）-4＜0恒成立，
所以

a

a2-1

(a2-a-2)≤4，解得 2-

3

≤a≤2+

3

且a≠1，
故a的范圍為[2-

3

，1）∪（1，2+

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的恒成立問(wèn)題．