Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x-1

是奇函數(shù)，（其中a＞1）
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的增減性；
（3）當(dāng)x∈(n，a-2

2

)時(shí)，f（x）的值域是（1，+∞），求n與a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x）恒成立，求出m的值，再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0得出m；
（2）由a＞1，利用單調(diào)性的定義判定它的單調(diào)性并進(jìn)行證明；
（3）由x∈(n，a-2

2

)時(shí)，f（x）的值為（1，+∞），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定出n與a的方程，解出n與a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴l(xiāng)og_a

1+mx

-x-1

=-log_a

1-mx

x-1

=log_a

x-1

1-mx

，
∴

1+mx

-x-1

=

x-1

1-mx

，
即1-m²x²=1-x²對(duì)一切x∈D都成立，
∴m²=1，m=±1，
由于

1-mx

x-1

＞0，∴m=-1；
∴f（x）=log_a

1+x

x-1

，D=（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）=log_a

1+x

x-1

，任取x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=log_a

1+x1

x1-1

-log_a

1+x2

x2-1

=log_a（

1+x1

x1-1

•

x2-1

1+x2

）=log_a

x1x2-x1+x2-1

x1x2+x1-x2-1

；
∵x₁，x₂∈（1，+∞），x₁＜x₂，
∴

x1x2-x1+x2-1

x1x2+x1-x2-1

＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，-1）也上單調(diào)遞減．
（3）∵x∈（n，a-2

2

），定義域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°當(dāng)n≥1時(shí)，則1≤n＜a-2

2

，即a＞1+2

2

，
∴f（x）在（n，a-2

2

）上為減函數(shù)，值域?yàn)椋?，+∞），
∴f（a-2

2

）=1，
即

1+a-2 2

a-2 2 -1

=a，
∴a=

2

+3，或a=

2

-1（舍去），且n=1；
2°當(dāng)n＜1時(shí)，則（n，a-2

2

）?（-∞，-1），
∴0＜a＜1，不合題意；
綜上，a=

2

+3，n=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域、值域、方程、不等式以及單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用，是易錯(cuò)題．