Question

【題目】已知定點(diǎn)，定直線： ，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切.

（Ⅰ）求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于， 兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)， 作曲線的切線， ，兩條切線相交于點(diǎn)，求外接圓面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)線段最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)，由化簡(jiǎn)即可得結(jié)論；（Ⅱ）由題意的外接圓直徑是線段，設(shè)： ，與 聯(lián)立得，從而得， 時(shí)線段最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，依題意.

設(shè)，則有 .

化簡(jiǎn)得.

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（Ⅱ）設(shè)： ，

代入中，得.

設(shè)， ，

則， .

所以 .

因?yàn)?/span>： ，即，所以.

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

因?yàn)?/span>，

所以，即為直角三角形.

所以的外接圓的圓心為線段的中點(diǎn)，線段是直徑.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)線段最短，最短長(zhǎng)度為4，此時(shí)圓的面積最小，最小面積為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直接法求軌跡方程、點(diǎn)到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見(jiàn)方法有:①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.本題（Ⅰ）就是利用方法①求圓心軌跡方程的.