Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)M、N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動(dòng)直線AB恒過一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）見解析

(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²＝2px(p>0)，則＝1，p＝2，所以拋物線方程為y²＝4x.
(2)拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)M(－1，y₁)，N(－1，y₂)，其中y₁y₂＝－4，直線MO的方程：y＝－y₁x，將y＝－y₁x與y²＝4x聯(lián)立解得A點(diǎn)坐標(biāo).同理可得B點(diǎn)坐標(biāo)，則直線AB的方程為：，整理得(y₁＋y₂)y－4x＋4＝0，故直線AB恒過定點(diǎn)(1，0)．