Question

已知函數(shù)，則方程f（f（x））=f（x）有____個(gè)實(shí)數(shù)根．

1. A.
   6
2. B.
   5
3. C.
   4
4. D.
   2

Answer 1

C
分析：由于f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，先考慮函數(shù)在（0，+∞）上的情況．令t=f（x）＞0，方程即f（t）=t，解得
t=，進(jìn)而求得x= 或 x=．從而得到方程在（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．再由對(duì)稱性可得，方程在
（-∞，0）上也有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，從而得到方程的根的個(gè)數(shù)．
解答：∵函數(shù)滿足 f（-x）=f（x），故f（x）是偶函數(shù)．
先考慮函數(shù)在（0，+∞）上的情況．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=．
令t=f（x）＞0，方程f（f（x））=f（x）即f（t）=t，∴①，或②．
解①得t∈∅，解②得 t=．
故有f（x）=，當(dāng) 0＜x＜1時(shí)，由 2x=解得 x=．
當(dāng)x≥1時(shí)，由=，解得 x=．
綜上可得，方程f（f（x））=f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
再由f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱可得，方程f（f（x））=f（x）在（-∞，0）上也有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
故方程f（f（x））=f（x）在定義域{x|x≠0}上有4個(gè)實(shí)數(shù)解，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性以及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，屬于中檔題．