Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），對(duì)任意實(shí)數(shù)x，滿足f（x+2）=-f（x），且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）、f（2）和f（-2）的值；
（Ⅱ）證明函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
（Ⅲ）當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，求f（x）的解析式（結(jié)果寫成分段函數(shù)形式）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x+2）=-f（x），利用賦值法分別進(jìn)行求值．
（Ⅱ）利用周期函數(shù)的定義證明周期．
（Ⅲ）利用周期性和奇偶性求解析式．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
由f（x+2）=-f（x），得f（2）=-f（0）=0．
因?yàn)閒（-2+2）=-f（-2）=f（0），
所以f（-2）=0．
（Ⅱ）由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=f（x），所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為4．
（Ⅲ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以函數(shù)關(guān)于x=1對(duì)稱．
當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，0＜-x≤1，所以f（-x）=3^-x+1=-f（x），所以此時(shí)f（x）=-3^-x-1．
當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=3^x+1．
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，-1＜x-2≤0，此時(shí)f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=3^2-x+1，
當(dāng)2＜x≤3時(shí)，0＜x-2≤1，此時(shí)f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=-[3^x-2+1]=-3^x-2-1．
綜上f(x)=

-3-x-1，-1≤x＜0 0，x=0 3x+1，0＜x≤1 32-x+1，1＜x≤2 -3x-2-1，2＜x≤3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．