Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，（n∈N^*，n≥1）
（Ⅰ）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
∴數(shù)列{}為等差數(shù)列
（Ⅱ）∵，∴，∴a_n=n•2ⁿ
所以s_n=2+2×2²+3×2³+…+n2^n…①，
兩邊都乘以2得：2s_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2^n+1…②
①-②得：-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=-n2ⁿ⁺¹，
解得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）要證明數(shù)列為等差數(shù)列，可求出的差為定值即為等差數(shù)列得證；
（Ⅱ）根據第一問得到數(shù)列的公差，然后利用的值即為首項，求出的通項公式即可得到a_n的通項，然后根據列舉出a_n的各項和，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式求出s_n即可．
點評：此題是一道中檔題，要求學生會證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，會利用錯位相減法求數(shù)列的和，靈活運用等比數(shù)列的前n項和的公式化簡求值．