Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列命題中正確的是

①③④

．
①點(diǎn)P在線段BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐C-D₁AP的體積不變；
②點(diǎn)P在線段BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AP與平面ACD₁所成角的大小不變；
③點(diǎn)P在線段BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角P-AD₁-C的大小不變；
④點(diǎn)P在線段BC₁上運(yùn)動(dòng)時(shí)，|PD|=|PA₁|恒成立．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)C到平面D₁AP的距離為定值和S_△AD1P是定值，可得三棱錐C-D₁AP的體積不變，①正確；通過計(jì)算可得直線AP與平面ACD₁所成角的大小在變化，②不正確；根據(jù)二面角的定義，可得二面角P-AD₁-C即平面ABC₁D₁與平面AD₁C所成的銳二面角，③正確；設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為a，BP到BC的距離為x，則可得|PD|與|PA₁|關(guān)于a、x的式子，得到
|PD|=|PA₁|恒成立，故④正確．

解答：解：對(duì)于①，V_C-D1AP=

1

3

S_△AD1P•h，其中h是點(diǎn)C到平面D₁AP的距離
因?yàn)镾_△AD1P等于四邊形ABC₁D₁面積的一半，是定值，
h等于正方體棱長的

2

2

也是定值，
故三棱錐C-D₁AP的體積不變，①正確；
對(duì)于②，在點(diǎn)P從B點(diǎn)向C₁點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，直線AP與平面ACD₁所成角的大小從arcsin

3

3

逐漸變?yōu)閍rcsin

1

3

，越來越小，故②不正確；
對(duì)于③，二面角P-AD₁-C即平面ABC₁D₁與平面AD₁C所成的銳二面角
因此二面角P-AD₁-C的大小不變，故③正確；
對(duì)于④，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為a，BP到BC的距離為x，（0≤x≤a）
根據(jù)空間線面垂直的位置關(guān)系，結(jié)合勾股定理，可得|PD|=|PA₁|=

a2+x2+(a-x)2

，故④正確．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題真假的判斷為載體，考查了空間直線與平面所成角、平面與平面所成角、體積的計(jì)算和距離的計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．