Question

（本小題滿分13分）
已知點為拋物線: 的焦點，為拋物線上的點，且．

（Ⅰ）求拋物線的方程和點的坐標；
（Ⅱ）過點引出斜率分別為的兩直線，與拋物線的另一交點為，與拋物線的另一交點為，記直線的斜率為．
（ⅰ）若，試求的值；
（ⅱ）證明：為定值．

Answer 1

(1)
(2),在第一問的基礎上，分析得到三個斜率的關系式，然后化簡變形得到證明。

試題分析：解：（Ⅰ）∵，∴
∴拋物線：．
又在拋物線上，
∴．∴．
（Ⅱ）（ⅰ）設直線，
∵與拋物線交于、兩點，∴.
由得：，
設，則，
∴，即.
同理可得.
，.
∴．
（ⅱ）證明：由（ⅰ）可知

，，即證得為定值．……13分
點評：本題主要通過研究拋物線的標準方程、圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸轉化思想等