Question

9．如圖所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形，A是扇形弧PQ上的動點，AB∥OQ，OP與AB交于點B，AC∥OP，OQ與AC交于點C，求點A的位置，使平行四邊形ABOC的面積最大，并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 作AH⊥OP，H為垂足，則AH=sinα，OH=cosα，BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα，可得OB=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．化簡平行四邊形ABOC的面積S′=OB•AH，等于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．由0＜α＜$\frac{π}{3}$，可得當(dāng) 2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，S′取得最大值為 $\frac{\sqrt{3}}{6}$．

解答 解：由題意可得0＜α＜$\frac{π}{3}$，作AH⊥OP，H為垂足，
則AH=sinα，OH=cosα，tan∠ABH=$\frac{AH}{BH}$=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
故BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα，
∴OB=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
故平行四邊形ABOC的面積S′=OB•AH=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα ）sinα=sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α 
=$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{1-cos2α}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
由于0＜α＜$\frac{π}{3}$，故$\frac{π}{6}$＜2α+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
故當(dāng) 2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，S′取得最大值為 $\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，二倍角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．