Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，y=f（x）在x=-2時(shí)有極值，在x=1處的切線方程為y=3x+1．
（1）求a，b，c
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義結(jié)合切線方程及函數(shù)f（x）在x=-2時(shí)有極值即可列出關(guān)于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，從而得到f （x）的表達(dá)式．
（2）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x），通過(guò)f'（x）＞0，及f'（x）＜0，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步得出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求導(dǎo)數(shù)得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∴f′（1）=2a+b+3=3①，f′（-2）=12-4a+b=0②，
由①②解得：a=2，b=-4，
過(guò)x=1處的切線方程為：y-f（1）=f′（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）③
將a=2，b=-4，代入③，解得：c=5，
（2）由（1）得：f（x）=x³+2x²-4x+5．
∴f′（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，1）	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	遞增	13	遞減	極小值	遞增	4

f（x）_極大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值為13

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．