Question

已知f（x）=x²+ax+3-a，若x∈（-2，2），f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程，然后對(duì)對(duì)稱軸所在范圍分類，求出不同情況下的函數(shù)f（x）的最小值，由最小值大于等于2求解a的范圍，最后取并集得答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a的對(duì)稱軸方程為x=-

a

2

，
當(dāng)-

a

2

≤-2，即a≥4時(shí)，f(x)min=f(-2)=(-2)2-2a+3-a=7-3a，
由7-3a≥2，解得a≤

5

3

，與a≥4矛盾；
當(dāng)-2＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜4時(shí)，
f(x)min=f(-

a

2

)=(-

a

2

)2-

a2

2

+3-a=3-a-

a2

4

．
由3-a-

a2

4

≥2，解得：-2-2

2

≤a≤-2+2

2

，
∴-4＜a≤-2+2

2

；
當(dāng)-

a

2

≥2，即a≤-4時(shí)，
f（x）_min=f（2）=4+2a+3-a=7+a，
由7+a≥2，解得a≥-5，
∴-5≤a≤-4．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-5≤a≤-2+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．