Question

在正四棱錐S-ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在側(cè)面SCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且總有PE⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是

1. A.
   SC的中點(diǎn)
2. B.
   點(diǎn)S與CD中點(diǎn)的連線
3. C.
   線段SC
4. D.
   SC的中點(diǎn)與CD的中點(diǎn)的連線

Answer 1

D
分析：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，SC、CD的中點(diǎn)分別為M、N，連接SO、MN、EM、EN．由正四棱錐的性質(zhì)，證出AC⊥平面SBD，得AC⊥SD，結(jié)合MN∥SD可得AC⊥MN．正方形ABCD中證出AC⊥NE，從而得到AC⊥平面MNE，因此經(jīng)過點(diǎn)E與AC垂直的直線總在平面EMN內(nèi)，由此可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡對(duì)應(yīng)的圖形．
解答：解：設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，SC的中點(diǎn)為M，CD的中點(diǎn)為N，連接SO、MN、EM、EN
∵AC⊥BD，AC⊥SO，BD、SO是平面SBD內(nèi)的相交直線
∴AC⊥平面SBD，可得AC⊥SD
∵M(jìn)N是△SCD的中位線，∴MN∥SD可得AC⊥MN，
又∵正方形ABCD中，E、N分別為BC、CD的中點(diǎn)
∴AC⊥NE，
∵EN、MN是平面EMN內(nèi)的相交直線，
∴AC⊥平面MNE，
因此不論P(yáng)在線段MN的何處總有PE⊥AC，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是SC的中點(diǎn)與CD的中點(diǎn)的連線．
故選：D
點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱錐S-ABCD，求經(jīng)過BC中點(diǎn)E與AC垂直的平面與平面SCD的交線．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和正四棱錐的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．