Question

偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí), ，則關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

D  

解析試題分析：∵f（x-1）=f（x+1）∴f（x）=f（x+2），
∴原函數(shù)的周期T=2，又∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
又∵x∈[0，1]時(shí)，，函數(shù)的周期為2，
∴原函數(shù)的對稱軸是x=1，且f（-x）=f（x+2）。
設(shè)y₁=f(x) ，y₂=，方程根的個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y₁=f(x) ，y₂= y₂=的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
由以上條件，可畫出y₁=f(x) ，y₂=的圖象，

當(dāng)x=時(shí)，y₁＞y₂，當(dāng)x=1時(shí)，y₁＜y₂，
故在（，1）上有一個(gè)交點(diǎn)．
結(jié)合圖象可得在[0，3]上y₁=f（x），y₂=共有4個(gè)交點(diǎn)，
∴在[0，3]上，原方程有4個(gè)根，故選D．
考點(diǎn)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性，函數(shù)的圖象，函數(shù)零點(diǎn)的概念，一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。
點(diǎn)評：難題，本題綜合考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性，函數(shù)的圖象，函數(shù)零點(diǎn)的概念，一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。由已知條件確定函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。