Question

【題目】已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足，，等差數(shù)列滿足，.

（Ⅰ）分別求數(shù)列，的通項公式；

（Ⅱ）記數(shù)列的前項和為，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，將已知兩個關(guān)系式中各項都由等比數(shù)列通項公式轉(zhuǎn)化為首項與公比，進而求得首項與公比，并寫出該數(shù)列通項公式；在等差數(shù)列中，由等差數(shù)列性質(zhì)求得公差，進而求得首項，即可寫出該數(shù)列通項公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得數(shù)列的前項和，將其帶入已知不等式，進而參變分離轉(zhuǎn)化不等式，再令，分析其數(shù)列的增減性，求得最值，即可求得答案.

（Ⅰ）設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為，由題意得

，∴

又由題意得，∴，且

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得數(shù)列的前項和，

∴對恒成立，即對恒成立，

令，，

當(dāng)時，，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時，，數(shù)列為遞減數(shù)列，

∴，故.