Question

18．關(guān)于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集為（-∞，-1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解關(guān)于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出a的值；
（2）討論a的取值，求出對應(yīng)不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的不等式ax²+（a-2）x-2≥0可變形為
（ax-2）（x+1）≥0，
且該不等式的解集為（-∞，-1]∪[2，+∞），
∴a＞0；
又不等式對應(yīng)方程的兩個實(shí)數(shù)根為-1和2；
∴$\frac{2}{a}$=2，解得a=1；
（2）①a=0時，不等式可化為-2x-2≥0，它的解集為{x|x≤-1}；
②a≠0時，不等式可化為（ax-2）（x+1）≥0，
當(dāng)a＞0時，原不等式化為（x-$\frac{2}{a}$）（x+1）≥0，
它對應(yīng)的方程的兩個實(shí)數(shù)根為$\frac{2}{a}$和-1，且$\frac{2}{a}$＞-1，
∴不等式的解集為{x|x≥$\frac{2}{a}$或x≤-1}；
當(dāng)a＜0時，不等式化為（x-$\frac{2}{a}$）（x+1）≤0，
不等式對應(yīng)方程的兩個實(shí)數(shù)根為$\frac{2}{a}$和-1，
在-2＜a＜0時，$\frac{2}{a}$＜-1，
∴不等式的解集為{x|$\frac{2}{a}$≤x≤-1}；
在a=-2時，$\frac{2}{a}$=-1，不等式的解集為{x|x=-1}；
在a＜-2時，$\frac{2}{a}$＞-1，不等式的解集為{x|-1≤x≤$\frac{2}{a}$}．
綜上，a=0時，不等式的解集為{x|x≤-1}，
a＞0時，不等式的解集為{x|x≥$\frac{2}{a}$或x≤-1}，
-2＜a＜0時，不等式的解集為{x|$\frac{2}{a}$≤x≤-1}，
a=-2時，不等式的解集為{x|x=-1}，
a＜-2時，不等式的解集為{x|-1≤x≤$\frac{2}{a}$}．

點(diǎn)評 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時應(yīng)用分類討論的思想，是中檔題目．