(2013•海淀區(qū)二模)已知點(diǎn) D 為△ABC 的邊 BC 上一點(diǎn).且 BD=2DC,∠ADB=75°,∠ACB=30°,AD=
2

(I)求CD的長(zhǎng);
(II)求△ABC的面積.
分析:(I)先求出∠DAC=45°,根據(jù)正弦定理有
AD
sin30°
=
CD
sin45°
,由此求得CD的值.
(II)又在△ABD中,∠ADB=75°,利用兩角和的正弦公式求得sin75°=sin(45°+30°)的值,可得S△ADB的值,再由S△ABC=
3
2
S△ADB 求得結(jié)果.
解答:解:(I)因?yàn)椤螦DB=75°,∠ACB=30°,所以∠DAC=45°,在△ACD中,AD=
2

根據(jù)正弦定理有 
AD
sin30°
=
CD
sin45°
,…(4分)
所以CD=2.   …(6分)
(II)由 BD=2DC,可得BD=4. …(7分)
又在△ABD中,∠ADB=75°,sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=
6
+
2
4
,…(9分)
所以 S△ADB=
1
2
•AD•BD•sin75°
=
3
+1,…(12分)
所以 S△ABC=
3
2
S△ADB=
3
3
+3
2
.  …(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查兩角和差的正弦公式,正弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
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(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)S(t)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a>2時(shí),若?t0∈[0,2],使得S(t0)≥e,求a的取值范圍.

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(2013•海淀區(qū)二模)已知橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a>b>0)
的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)直線l與橢圓M交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,  -
1
2
)
,求△AOB(O為原點(diǎn))面積的最大值.

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(2013•海淀區(qū)二模)集合A={x|(x-1)(x+2)≤0},B={x|x<0},則A∪B=( 。

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(2013•海淀區(qū)二模)設(shè)A是由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的數(shù)表,如果某一行(或某一列)各數(shù)之和為負(fù)數(shù),則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴袛?shù)的符號(hào),稱為一次“操作”.
(Ⅰ) 數(shù)表A如表1所示,若經(jīng)過(guò)兩次“操作”,使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)實(shí)數(shù),請(qǐng)寫出每次“操作”后所得的數(shù)表(寫出一種方法即可); 
1 2 3 -7
-2 1 0 1
表1
(Ⅱ) 數(shù)表A如表2所示,若必須經(jīng)過(guò)兩次“操作”,才可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù),求整數(shù)a的所有可能值;
a a2-1 -a -a2
2-a 1-a2 a-2 a2
表2
(Ⅲ)對(duì)由m×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的m行n列的任意一個(gè)數(shù)表A,能否經(jīng)過(guò)有限次“操作”以后,使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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