（滿分14分）如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

（Ⅰ）求證：平面BCD；

（Ⅱ）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點E到平面ACD的距離．

 

【答案】

⑴證明：見解析； (2) ． (3) ．

【解析】（1）因為AB=AD，O為BD的中點，所以下面再根據(jù)勾股定理證即可.

(II)先找出異面直線所成的角是解本小題的關(guān)鍵.取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知，∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角.然后再把角放在三角形OEM中求解即可.

(III)本小題求點到平面的距離可以利用體積法求解.設(shè)點E到平面ACD的距離為

然后根據(jù)求解.

 

⑴證明：連結(jié)OC    … 1分

，． ……… 2分

在中，由已知可得 … 3分

而，   …  4分

即  ………  5分

     ∴平面． ………  6分

方法一：⑵解：取AC的中點M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點知，

∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，…… 8分

在中， 

 是直角斜邊AC上的中線，∴ ……………9分  

∴ ………… 10分

∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為． …………………………  11分

⑶．解：設(shè)點E到平面ACD的距離為． ，  …12分

在中，,,而，．

∴，   ∴點E到平面ACD的距離為…14分

方法二：(2)解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

， ……   9分

∴ 異面直線AB與CD所成角的余弦值為．……   10分

(3)解：設(shè)平面ACD的法向量為則

，∴，

令得是平面ACD的一個法向量．又   

∴點E到平面ACD的距離  ．…14分

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）

如圖：在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，點M，N分別為BC，PA的中點，且

   （I）證明：平面AMN；

   （II）求三棱錐N的體積；

   （III）在線段PD上是否存在一點E，使得平面ACE；若存在，求出PE的長，若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省溫州市十校聯(lián)合體高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分14分）如圖，已知平面，∥，

是正三角形，且.

（1）設(shè)是線段的中點，求證：∥平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年浙江省寧波市十校高三聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，A是單位圓與軸正半軸的交點，點B、P在單位圓上，且，，，四邊形OAQP的面積為S.

   （Ⅰ）求；

   （Ⅱ）求的最大值及此時的值0.

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省淮安七校高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分14分）

     如圖，在四面體中，，點分別是的中點． 求證：

   （1）直線平面；

   （2）平面平面．

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年廣東省高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖所示，已知曲線與曲線交于點O、A，直線(0<t≤1)與曲線C1、C2分別相交于點D、B，連接OD、DA、AB。

（1）寫出曲邊四邊形ABOD（陰影部分）的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。

 

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