分析:(1)以C點為坐標原點,CA,CB,CC
1為X,Y,Z軸正方向建立空間坐標系,分別求出AB
1與BC
1的方向向量,代入數(shù)量積公式,得到其數(shù)量積為0,即可得到AB
1⊥BC
1;
(2)求出平面AB
1C
1的一個法向量,則AB的方向向量,代入到公式
d=,即可求出
點B到平面AB
1C
1的距離;
(3)結(jié)合(2)的結(jié)合,再求出平面AB
1A
1的一個法向量,代入向量夾角公式,即可得到二面角C
1-AB
1-A
1的大。
解答:證明:(1)如圖建立直角坐標系,其為C為坐標原點,
題意A(2,0,0),B(0,2,0),A
1(2,0,2),B
1(0,2,2),C
1(0,0,2).
∵
•=(-2,2,2)•(0,-2,2)=0,∴
⊥∴AB
1⊥BC
1解:(2)設(shè)
=(x1,y1,z1)是平面AB1C1的一個法向量,
由
•=0,•=0得
所以令
z1=1,=(1,0,1)∵
=(-2,2,0),∴點B到平面AB
1C
1的距離
d==.
(3)解設(shè)
=(x2,y2,z2)是平面A
1AB
1的一個法向量
由
•=0,•=0,得∴
令
y2=1,則=(1,1,0)∵
cos<•>==,
∴二面角C
1-AB-A
1的大小為60°.
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,點到面的距離,異面直線的夾角,其中建立適當?shù)目臻g坐標系,將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角及向量長度問題是解答本題的關(guān)鍵.