Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（m-1，1），$\overrightarrow$=（-n-1，2），其中m＞0，n＞0，若存在實數(shù)λ使$\overrightarrow=λ\overrightarrow{a}$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 4$\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 由題意和向量平行可得正數(shù)mn滿足2m+n=1，整體代入可得$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（m-1，1），$\overrightarrow$=（-n-1，2），其中m＞0，n＞0，若存在實數(shù)λ使$\overrightarrow=λ\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow$∥$\overrightarrow{a}$，∴2（m-1）=-n-1，即正數(shù)mn滿足2m+n=1，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{n}{m}$=$\frac{4m}{n}$即n=2m時取等號，結(jié)合2m+n=1可得m=$\frac{1}{4}$且n=$\frac{1}{2}$時取等號．
故選：D．

點評 本題考查基本不等式求最值，涉及平面向量的應(yīng)用和整體代入的思想，屬基礎(chǔ)題．