Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若g（x）=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式可得：函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），再利用三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可得出；
（2）分別畫(huà)出y=f（x）和y=m的圖象，由圖象可知，1≤m＜2．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
（2）g（x）=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴f（x）-m=0，
即f（x）=m，
分別畫(huà)出y=f（x）和y=m的圖象，如圖所示：
由圖象可知，當(dāng)1≤m＜2時(shí)，y=f（x）和y=m有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴g（x）=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，m的范圍為[1，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了倍角公式、三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)的判定方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題