Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP的中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．

（Ⅰ）若E是PC的中點(diǎn)，求證：AP∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面PCD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大�。�

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE， 在正方形ABCD中，O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，
所以O(shè)E為△PAC的中位線，
所以O(shè)E∥AP，
又因?yàn)镺E平面BDE，AP平面BDE，
所以AP∥平面BDE．
（Ⅱ）由已知可得AD⊥PD，AD⊥CD，
又因?yàn)镻D∩CD=D，PD，CD平面PCD，
所以AD⊥平面PCD，
又因?yàn)锳D平面ABCD，
所以平面PCD⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，又因?yàn)镻D⊥CD，且AD∩CD=D，
所以PD⊥平面ABCD，
所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
所以 ， ，
設(shè)平面APB的一個(gè)法向量為 ，
所以 即
令a=1，則c=1，從而 ，
同理可求得平面PBC的一個(gè)法向量為 ，
設(shè)二面角A﹣PB﹣C的大小為θ，易知 ，
所以 ，所以 ，
所以二面角A﹣PB﹣C的大小為 ．

【解析】（Ⅰ）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，推導(dǎo)出OE∥AP，由此能證明AP∥平面BDE．（Ⅱ）推導(dǎo)出AD⊥PD，AD⊥CD，從而AD⊥平面PCD，由此能證明平面PCD⊥平面ABCD．（Ⅲ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的大�。�
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行；一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．