Question

定義函數(shù)f_k（x）=

alnx

xk

為f（x）的k階函數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求一階函數(shù)f₁（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程f₂（x）=1的解的個(gè)數(shù)；
（3）求證：3elnx≤x³．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)區(qū)間．
（2）分情況討論，當(dāng)a=0時(shí)方程無解；當(dāng)a≠0時(shí)，構(gòu)造函數(shù)令g（x）=

lnx

x2

（x＞0）．利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，利用g（x）的取值范圍即可得到方程f₂（x）=1的解的個(gè)數(shù)；
（3）f3(x)=

lnx

x3

（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，從而證明f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即elnx≤x³．

解答： 解：（1）∵f1(x)=

alnx

x

(x＞0)，
∴f′1(x)=

a-alnx

x2

=

a(1-lnx)

x2

（x＞0）．
令f′₁（x）=0，當(dāng)a≠0時(shí)，x=e．
∴當(dāng)a=0時(shí)，f₁（x）無單調(diào)區(qū)間，
當(dāng)a＞0時(shí)，f₁（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e），單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）．
當(dāng)a＜0時(shí)，f₁（x）的單調(diào)增區(qū)間為（e，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，e）．
（2）由

alnx

x2

=1，當(dāng)a=0時(shí)，方程無解．當(dāng)a≠0時(shí)，

lnx

x2

=

1

a

．
令g（x）=

lnx

x2

（x＞0）．
則g′(x)=

x-2xlnx

x4

=

1-2lnx

x3

．
由g′（x）=0得x=

e

．
從而g（x）在（0，

e

）單調(diào)遞增，在（

e

，+∞）單調(diào)遞減．
∴g(x)max=g(

e

)=

1

2e

．
當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→0．
∴當(dāng)0＜

1

a

＜

1

2e

，即a＞2e時(shí)，方程有兩個(gè)不同解．
當(dāng)

1

a

＞

1

2e

，即0＜a＜2e時(shí)，方程有0個(gè)解．
當(dāng)

1

a

=

1

2e

，或

1

a

＜0，即a=2e或a＜0時(shí)，方程有唯一解．
綜上，當(dāng)a＞2e時(shí)，方程有兩個(gè)不同解；當(dāng)0＜a＜2e時(shí)，方程有0個(gè)解；當(dāng)a=2e或a＜0時(shí)，方程有唯一解．
（3）特別地，當(dāng)a=1時(shí)，
由f3(x)=

lnx

x3

（x＞0）得，
f′3(x)=

x2-3x2lnx

x6

=
由f′₃（x）=0得x=e

1

3

，
則f₃（x）在（0，e

1

3

）上單調(diào)遞增，在（e

1

3

，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f3(x)max=f3(e

1

3

)=

1

3e

．
∴f3(x)=

lnx

x3

≤

1

3e

，即3lnx≤

x3

e

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，方程的解與函數(shù)的關(guān)系，屬于難題．