【題目】已知函數(shù) ,
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)
,(
)有幾個(gè)零點(diǎn),并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)函數(shù),若函數(shù)
在
為增函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為
,
;(2)有2個(gè)零點(diǎn),證明見(jiàn)解析;(3)
【解析】
對(duì)函數(shù)
求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)
的正負(fù)判斷函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間即可;
函數(shù)
有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明;
記函數(shù)
,求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得
,由零點(diǎn)存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的
,使
,求得
為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論:①當(dāng)
時(shí),利用函數(shù)的單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為
的問(wèn)題;②當(dāng)
時(shí),當(dāng)
時(shí),
在
上恒成立,從而求得
的取值范圍.
(1)由題意知,,列表如下:
0 | 2 | ||||
| 0 | ||||
| 極小值 |
| 極大值 |
|
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
,
.
(2)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下:
因?yàn)?/span>時(shí),所以
,
因?yàn)?/span>,所以
在
恒成立,
在
上單調(diào)遞增,
由,
,且
在
上單調(diào)遞增且連續(xù)知,
函數(shù)在
上僅有一個(gè)零點(diǎn),
由(1)可得時(shí),
,
即,故
時(shí),
,
所以,
由得
,平方得
,所以
,
因?yàn)?/span>,所以
在
上恒成立,
所以函數(shù)在
上單調(diào)遞減,因?yàn)?/span>
,所以
,
由,
,且
在
上單調(diào)遞減且連續(xù)得
在
上僅有一個(gè)零點(diǎn),
綜上可知:函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).
(3)記函數(shù),下面考察
的符號(hào).
求導(dǎo)得.
當(dāng)時(shí)
恒成立.
當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>
,
所以.
∴在
上恒成立,故
在
上單調(diào)遞減.
∵,∴
,又因?yàn)?/span>
在
上連續(xù),
所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的,使
,
∴,
因?yàn)?/span>,所以
∴
因?yàn)楹瘮?shù)在
上單調(diào)遞增,
,
所以在
,
上恒成立.
①當(dāng)時(shí),
在
上恒成立,即
在
上恒成立.
記,則
,
當(dāng)變化時(shí),
,
變化情況如下表:
| 極小值 |
|
∴,
故,即
.
②當(dāng)時(shí),
,當(dāng)
時(shí),
在
上恒成立.
綜合(1)(2)知, 實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為
,
是
的中點(diǎn),
在
邊上,
.
(1)證明:平面平面
;
(2)若是側(cè)面
內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且
平面
.
①在答題卡中作出點(diǎn)的軌跡,并說(shuō)明軌跡的形狀(不需要說(shuō)明理由);
②求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在四邊形中,
,
,
,
.把
沿著
翻折至
的位置,
平面
,連結(jié)
,如圖2.
(1)當(dāng)時(shí),證明:平面
平面
;
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),求點(diǎn)
到平面
的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】渭南市公安局交警支隊(duì)依據(jù)《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第條規(guī)定:渭南城區(qū)所有主干道路凡機(jī)動(dòng)車(chē)途經(jīng)十字口或斑馬線,無(wú)論轉(zhuǎn)彎或者直行,遇有行人過(guò)馬路,必須禮讓行人.違反者將被處以
元罰款,記
分的行政處罰.下表是渭南市一主干路段,監(jiān)控設(shè)備所抓拍的
個(gè)月內(nèi),機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
月份 | |||||
違章駕駛員人數(shù) |
(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份
之間的回歸直線方程
;
(2)預(yù)測(cè)該路月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù);
(3)若從表中、
月份分別抽取
人和
人,然后再?gòu)闹腥芜x
人進(jìn)行交規(guī)調(diào)查,求拍到的兩人恰好來(lái)自同一月份的概率.
參考公式:,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)棱
底面
,
,
,
,
是棱
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)若,點(diǎn)
是線段
上一點(diǎn),且
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓:
和拋物線
:
,
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)已知直線和圓
相切,與拋物線
交于
兩點(diǎn),且滿(mǎn)足
,求直線
的方程;
(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)
作兩直線
和圓
相切,且分別交拋物線
于
兩點(diǎn),若直線
的斜率為
,求點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正四棱錐的底邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為
,
為
上一點(diǎn),且
,點(diǎn)
,
分別為
,
上的點(diǎn),且
.
(1)證明:平面平面
;
(2)求銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列
滿(mǎn)足如下條件:①
;②
.若數(shù)列
滿(mǎn)足
,其中
則稱(chēng)
為
的“心靈契合數(shù)列”.
(I)數(shù)列1,5,9,11,15是否存在“心靈契合數(shù)列”若存在,寫(xiě)出其心靈契合數(shù)列,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由;
(II)若為
的“心靈契合數(shù)列”,判斷數(shù)列
的單調(diào)性,并予以證明;
(Ⅲ)已知數(shù)列存在“心靈契合數(shù)列”
,且
,
,求m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣a|+|x﹣a+1|.
(1)當(dāng)a=4時(shí),求解不等式f(x)≥8;
(2)已知關(guān)于x的不等式f(x)在R上恒成立,求參數(shù)a的取值范圍.
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