Question

【題目】已知函數(shù) ，

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)，（）有幾個零點，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;（2）有2個零點，證明見解析;（3）

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;

記函數(shù),求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得,由零點存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使，求得為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)時，利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為的問題;②當(dāng)時，當(dāng)時,在上恒成立，從而求得的取值范圍.

（1）由題意知,，列表如下：

		0		2
		0
		極小值		極大值

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,.

（2）函數(shù)有2個零點.證明如下：

因為時，所以，

因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增，

由，，且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,

函數(shù)在上僅有一個零點，

由（1）可得時,，

即，故時，，

所以，

由得，平方得，所以，

因為，所以在上恒成立,

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,所以,

由，，且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得

在上僅有一個零點，

綜上可知：函數(shù)有2個零點.

（3）記函數(shù)，下面考察的符號．

求導(dǎo)得．

當(dāng)時恒成立．

當(dāng)時，因為，

所以．

∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．

∵，∴，又因為在上連續(xù)，

所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的，使，

∴,

因為,所以

∴

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,,

所以在，上恒成立．

①當(dāng)時，在上恒成立，即在上恒成立．

記，則，

當(dāng)變化時，，變化情況如下表：

		極小值

∴，

故，即．

②當(dāng)時，，當(dāng)時，在上恒成立．

綜合（1）（2）知， 實數(shù)的取值范圍是．