Question

3．已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a=$\sqrt{2}$，向量$\overrightarrow{m}$=（-1，1），$\overrightarrow{n}$=（cosBcosC，sinBsinC-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求A的大�。�
（Ⅱ）當(dāng)sinB+cos（$\frac{7π}{12}$-C）取得最大值時(shí)，求角B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知向量的坐標(biāo)結(jié)合$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$列式，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求得A的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的A值，把sinB+cos（$\frac{7π}{12}$-C）化為僅含有B的三角函數(shù)式，可得當(dāng)sinB+cos（$\frac{7π}{12}$-C）取得最大值時(shí)角B的大�。�

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴$-cosBcosC+sinBsinC-\frac{\sqrt{2}}{2}=0$，
即$cos（B+C）=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A+B+C=π，∴cos（B+C）=-cosA，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由$A=\frac{π}{4}，C=\frac{3π}{4}-B$，
故$sinB+cos（\frac{7π}{12}-C）=sinB+cos（B-\frac{π}{6}）$
=$\frac{3}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB=\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$．
由$B∈（0，\frac{3π}{4}）$，
故$\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$取最大值時(shí)，$B=\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．