Question

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），且圓心在直線y=x上，且，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．
（I）求圓C的方程；
（II）若

OP

•

OQ

=-2，求實(shí)數(shù)k的值；
（III）過點(diǎn)（0，1）作直線l₁與l垂直，且直線l₁與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求四邊形PMQN面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，從而可求圓C的方程；
（II）方法一：利用向量的數(shù)量積公式，求得∠POQ=120°，計(jì)算圓心到直線l：kx-y+1=0的距離，即可求得實(shí)數(shù)k的值；
方法二：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程代入圓的方程，利用韋達(dá)定理及

OP

•

OQ

=x₁•x₂+y₁•y₂=，即可求得k的值；
（III）方法一：設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，求得d12+d2=1，根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2•

4-d2

，|MN|=2•

4-d12

，再利用基本不等式，可求四邊形PMQN面積的最大值；
方法二：當(dāng)直線l的斜率k=0時(shí)，則l₁的斜率不存在，可求面積S；當(dāng)直線l的斜率k≠0時(shí)，設(shè)l1：y=-

1

k

x+1，則

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元得（1+k²）x²+2kx-3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四邊形PMQN面積的最大值．

解答：解：（I）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．
因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以

(a+2)2+a2

=

a2+(a-2)2

=r
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圓C的方程是x²+y²=4．…（4分）
（II）方法一：因?yàn)?span id="fvfrdhf" class="MathJye">

OP

•

OQ

=2×2×cos＜

OP

，

OQ

＞=-2，…（6分）
所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，…（7分）
所以圓心到直線l：kx-y+1=0的距離d=1，…（8分）
又d=

1

k2+1

，所以k=0．…（9分）
方法二：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因?yàn)?span id="d3frdfj" class="MathJye">

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元得（1+k²）x²+2kx-3=0．…（6分）
由題意得：

△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0 x1+x2= -2k 1+k2 x1•x2= -3 1+k2

…（7分）
因?yàn)?span id="pd3zf3p" class="MathJye">

OP

•

OQ

=x₁•x₂+y₁•y₂=-2，
又y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1•x2+k(x1+x2)+1，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=

-3

1+k2

+

-3k2

1+k2

+

-2k2

1+k2

+1=-2，…（8分）
化簡(jiǎn)得：-5k²-3+3（k²+1）=0，
所以k²=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：設(shè)圓心O到直線l，l₁的距離分別為d，d₁，四邊形PMQN的面積為S．
因?yàn)橹本�l，l₁都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且l⊥l₁，根據(jù)勾股定理，有d12+d2=1，…（10分）
又根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，|PQ|=2•

4-d2

，|MN|=2•

4-d12

，…（11分）
而S=

1

2

•|PQ|•|MN|，即

S= 1 2 ×2× 4-d12 ×2× 4-d2 =2 16-4(d12+d2)+d12•d2 =2 12+d12•d2 ≤2 12+( d12+d2 2 )2 =2 12+ 1 4 =7，

…（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)d₁=d時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最大值為7．…（14分）
方法二：設(shè)四邊形PMQN的面積為S．
當(dāng)直線l的斜率k=0時(shí)，則l₁的斜率不存在，此時(shí)S=

1

2

•2

3

•4=4

3

．…（10分）
當(dāng)直線l的斜率k≠0時(shí)，設(shè)l1：y=-

1

k

x+1
則

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元得（1+k²）x²+2kx-3=0
所以

△=4k2-4(1+k2)(-3)＞0 x1+x2= -2k 1+k2 x1•x2= -3 1+k2

|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

4k2+12k2+12

1+k2

=

1+k2 16k2+12

1+k2

同理得到|MN|=

1+ 1 k2

16 1 k2 +12

1+ 1 k2

=

1+k2 12k2+16

1+k2

．…（11分）

S= 1 2 •|PQ|•|MN| = 1 2 • (1+k2) (16k2+12)(12k2+16) (1+k2)2 = 1 2 • 16(4k2+3)(3k2+4) 1+k2 = 2 12k4+25k2+12 1+k2 =2 12(k4+2k2+1)+k2 k4+2k2+1

=2

12+ k2 k4+2k2+1

=2

12+ 1 k2+2+ 1 k2

…（12分）
因?yàn)?span id="vvzhvxp" class="MathJye">k2+2+

1

k2

≥2+2

k2• 1 k2

=4，
所以 S≤2

12+ 1 4

=2×

7

2

=7，…（13分）
當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最大值為7．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積，考查圓的性質(zhì)，考查四邊形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確表示四邊形的面積，屬于中檔題．