精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線AB與MD所成角的大;
(Ⅱ)求平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值.
分析:(Ⅰ)作AP⊥CD于點(diǎn)P,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,求出
AB
MD
,然后利用向量的夾角公式求出所求即可;
(Ⅱ)先求平面OCD的法向量與平面OAB的一個(gè)法向量,然后利用向量的夾角公式求出平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值.
解答:精英家教網(wǎng)解:作AP⊥CD于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,
2
2
,0),D(-
2
2
,
2
2
,0)
,
O(0,0,2),M(0,0,1)
(Ⅰ)設(shè)AB與MD所成的角為θ,
AB
=(1,0,0),
MD
=(-
2
2
2
2
,-1)

cosθ=
|
AB
MD
|
|
AB
|•|
MD
|
=
1
2
,∴θ=
π
3
,
∴AB與MD所成角的大小為
π
3
(5分)
(Ⅱ)∵
OP
=(0,
2
2
,-2),
OD
=(-
2
2
,
2
2
,-2)
,
∴設(shè)平面OCD的法向量為
n
1
=(x,y,z)

n
1
OP
=0,
n1
OD
=0
,即
2
2
y-2z=0
-
2
2
x+
2
2
y-2z=0

z=
2
,解得
n
1
=(0,4,
2
)
.(6分)
易知平面OAB的一個(gè)法向量為
n2
=(0,1,0)
(7分)
cos<
n
1
,
n2
>=
n
1
.
n2
|
n
1
||
n
2
|
=
2
2
3
.(9分)
由圖形知,平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值為
2
2
3
(10分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線與平面所成角、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí),考查空間想象能力和思維能力,應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn),N為BC中點(diǎn),以A為原點(diǎn),建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用空間向量解答以下問(wèn)題
(1)證明:直線BD⊥OC
(2)證明:直線MN∥平面OCD
(3)求異面直線AB與OC所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:直線MN∥平面OCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大。
(Ⅲ)求二面角A-OD-C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π3
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn).
(1)求三棱錐B-OCD的體積;
(2)求異面直線AB與MD所成角的余弦值;
注:若直線a⊥平面α,則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=
π4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn)
(1)求三棱錐B-OCD的體積;
(2)求異面直線AB與MD所成角的大小;
注:若直線a⊥平面α,則直線a與平面α內(nèi)的所有直線都垂直.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:江蘇同步題 題型:解答題

如圖,在四棱錐O﹣ABCD中,底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點(diǎn),N為BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:直線MN∥平面OCD;
(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大;
(Ⅲ)求二面角A﹣OD﹣C的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案