Question

已知棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁及其三視圖尺寸如圖所示，P、Q分別為B′B，CB的中點(diǎn)．
（1）填寫棱臺(tái)各頂點(diǎn)字母，并證明：PQ∥平面AA′D′D；
（2）求BC與平面A′ADD′所成的角的正切值．

Answer 1

解：（1）字母如圖所示

…（2分）
∵梯形AA′D′D、AA′B′B、A′B′C′D′、ABCD均為直角梯形
且A′B′=DC=AB=8，2D′C′=A′B′=DC
連接B′C，PD，則PQ∥B′C，A′B′CD為矩形
∴B′C∥A′D
∴PQ∥A′D
又∵PQ?平面AA′D′D，A′D?平面AA′D′D
∴PQ∥平面AA′D′D…（6分）
（2）取AB中點(diǎn)M，連接DM，則DM∥CD
∴BC與平面AA′D′D所成角等于DM與平面AA′D′D所成角
∵M(jìn)A⊥面AA′D′D，
∴DM在平面AA′D′D的射影為DA
∴∠MDA為直線DM與磁面AA′D′D所成的角． …（9分）
∵AM=DC=8，AD=10
∴tan∠MDA=
即BC與平面AA′D′D所成的角的正切為…（12分）
分析：（1）由已知中幾何體中的三視圖，我們易得到函數(shù)的直觀圖，及各棱的長(zhǎng)，進(jìn)而判斷出A′B′CD為矩形，進(jìn)而得到PQ∥A′D，由線面平行的判定定理，即可得到PQ∥平面AA′D′D；
（2）取AB中點(diǎn)M，連接DM，BC與平面AA′D′D所成角等于DM與平面AA′D′D所成角，即∠MDA為直線DM與磁面AA′D′D所成的角，解三角形MDA即可得到BC與平面A′ADD′所成的角的正切值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三視圖，直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中根據(jù)已知中的三視圖判斷出該幾何體的形狀和各棱的長(zhǎng)度和平行及垂直關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵．