Question

設(shè)點(diǎn)P（m，n）在圓x²+y²=2上，l是過點(diǎn)P的圓的切線，切線l與函數(shù)y=x²+x+k（k∈R）的圖象交于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB是以AB為底的等腰三角形；
（1）試求出P縱坐標(biāo)n足的等量關(guān)系；
（2）若將（1）中的等量關(guān)系右邊化為零，左邊關(guān)于n代數(shù)式可表為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，且滿足條件的等腰三角形有有3個(gè)，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：

分析：①寫出過P的切線，然后分別設(shè)出A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)是已知題意列出3個(gè)等式，然后解出結(jié)果..通過P點(diǎn)縱坐標(biāo)為n，代入P中求出n的等量關(guān)系．
②按照①的結(jié)果，通過把等量關(guān)系右邊化為零，左邊關(guān)于n的代數(shù)式表示為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，化簡．然后根據(jù)滿足條件的等腰三角形有3個(gè)，分別判斷△＞0是否成立．經(jīng)過計(jì)算分別求出K的取值范圍即可．

解答： 解：（1）△OAB是以AB為底的等腰三角形，∴P是AB的中點(diǎn)．
過P點(diǎn)的切線：mx+ny=2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=x₁²+x₁+k①，y₂=x₂²+x₂+k②，x₁+x₂=2m．
②-①：y₂-y₁=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+x₂-x₁，
∴

y2-y1

x2-x1

=x₁+x₂+1=2m+1，
∴-

m

n

=2m+1，
∴m=

-n

2n+1

，
（2）∵m²+n²=2，
∴（

-n

2n+1

）²+n²=2，
∴4n⁴+4n³-6n²-8n-2=0
即2n⁴+2n³-3n²-4n-1=0．
由已知，2n⁴+2n³-3n²-4n-1
=（n+1）²（an²+bn+c）=（n²+2n+1）（an²+bn+c）
=an⁴+（b+2a）n³+（c+a+2b）n²+（2c+b）n+c，
∴

a=2 b+2a=2 c+a+2b=-3 2c+b=-4 c=-1

，
∴a=2，b=-2，c=-1，
由2n⁴+2n³-3n²-4n-1=（n+1）²（2n²-2n-1）=0
∴n+1=0或2n²-2n-1=0，
∴n=-1或n=

1± 3

2

，
∴

m=-1 n=-1

或

m= 1- 3 2 n= 1+ 3 2

或

m= 1- 3 2 n= 1+ 3 2

，
由

mx+ny=2 y=x2+x+k

得nx²+（m+n）x+nk-2=0
當(dāng)

m=-1 n=-1

時(shí)，x²+2x+k+2=0，△=4-4k-8＞0，k＜-1；
當(dāng)

m= 1- 3 2 n= 1+ 3 2

時(shí)，

1+ 3

2

x²+x+

1+ 3

2

k-2=0，由△=1-4•

1+ 3

2

•（

1+ 3

2

k-2）＞0可得k＜

( 3 +7)( 3 -1)

4

；
當(dāng)

m= 1- 3 2 n= 1+ 3 2

時(shí)，

1- 3

2

x²+x+

1- 3

2

k-2=0，由△=1-4•

1- 3

2

•（

1- 3

2

k-2）＞0可得k＜-1-

3 3

2

，
等腰三角形恰有3個(gè)等價(jià)于以上三個(gè)解都滿足△＞0，
故k＜-1-

3 3

2

．

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的關(guān)系的應(yīng)用，通過直線與圓相切，對關(guān)系式進(jìn)行分析，屬于難題．