Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期為π，且在x=

π

6

處取得最大值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出它的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2sinA=sinB，c=3，f（C）=1，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用函數(shù)的周期求出ω，利用在x=

π

6

處取得最大值求出φ，得到函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)的增區(qū)間．
（2）利用正弦定理以及余弦定理已知條件，推出a、b的關(guān)系式，即可求解a，b的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期為π，ω=

2π

π

=2，
在x=

π

6

處取得最大值，∴2×

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

6

．
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈z）解得，-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈z），
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）的增區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈z），
（2）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2sinA=sinB，
由正弦定理可知：2a=b，…①
∵f（C）=1，∴1=2sin（2C+

π

6

），∴2C+

π

6

=

5π

6

，∴C=

π

3

，
∵c=3，
由余弦定理可得：9=a²+b²-2abcos

π

3

，即9=a²+b²-ab，…②，
解①②可得，a=

3

，b=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，對(duì)于形如y=sin（ωx+φ）的性質(zhì)，需要把“ωx+φ”作為一個(gè)整體，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，考查了整體思想，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用．