Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，當(dāng)x∈（0，1]且x₁≠x₂時(shí)，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0．給出下列命題：
（1）f（1）=0
（2）f（x）在[-2，2]上有5個(gè)零點(diǎn)
（3）（2013，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心
（4）直線是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸
則正確命題個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知，分析出函數(shù)的周期和單調(diào)性，進(jìn)而畫出滿足條件的函數(shù)的草圖，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答： 解：∵對(duì)?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴對(duì)?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函數(shù)y=f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∴f（1）=f（-1）．
∵當(dāng)x∈（0，1]且x₁≠x₂時(shí)，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，
∴在區(qū)間（0，1]上函數(shù)為減函數(shù)．
又∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即（1）正確；
滿足條件的函數(shù)y=f（x）的草圖如下所示：

由圖可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5個(gè)零點(diǎn)，即（2）正確；
所有（k，0）（k∈Z）點(diǎn)均為函數(shù)的對(duì)稱中心，故（3）（2013，0）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心，正確；
函數(shù)y=f（x）圖象無對(duì)稱軸，故（4）錯(cuò)誤；
則正確命題個(gè)數(shù)是3個(gè)
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．