直線y＝kx＋b與曲線交于A、B兩點，記△AOB的面積為S（O是坐標原點）．
（1）求曲線的離心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（3）當｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程．

（1）離心率．（2）當時， S取到最大值1．
（3）或或或．

解析試題分析：（1）轉(zhuǎn)化成標準方程，明確曲線為橢圓，，進一步得到橢圓的離心率.
（2）設(shè)點A的坐標為，點B的坐標為，由，解得，
將面積用b表示.
（3）由,應用弦長公式，得到｜AB｜＝，
根據(jù)O到AB的距離得到代入上式并整理，解得k,b.
試題解析：（1）曲線的方程可化為：，
∴此曲線為橢圓，，
∴此橢圓的離心率．          4分
（2）設(shè)點A的坐標為，點B的坐標為，
由，解得，             6分
所以
當且僅當時， S取到最大值1．           8分
（3）由得， 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   ①
｜AB｜＝        ②
又因為O到AB的距離，所以　 ③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式檢驗，△＞0 ，
故直線AB的方程是 
或或或．          14分
考點：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，函數(shù)的最值.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，、分別為橢圓：的左、右兩個焦點，、為兩個頂點，已知頂點到、兩點的距離之和為.
（1）求橢圓的方程；
（2）求橢圓上任意一點到右焦點的距離的最小值；
（3）作的平行線交橢圓于、兩點，求弦長的最大值，并求取最大值時的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)分別是橢圓的左，右焦點.
（1）若是橢圓在第一象限上一點，且，求點坐標；（5分）
（2）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同兩點，且為銳角（其中為原點），求直線的斜率的取值范圍.（7分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C∶＋＝1(a>b>0)過點(0,4)，離心率為.
(1)求C的方程；
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：=1（a>b≥1）的離心率e=，且橢圓C上的點到點Q （0,3）的距離最大值為4，過點M（3，0）的直線交橢圓C于點A、B．
（1）求橢圓C的方程。
（2）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當|AB|<時，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在平面直角坐標系中，設(shè)橢圓，其中，過橢圓內(nèi)一點的兩條直線分別與橢圓交于點和，且滿足，，其中為正常數(shù). 當點恰為橢圓的右頂點時，對應的.
（1）求橢圓的離心率；
（2）求與的值；
（3）當變化時，是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構(gòu)成一正方形.（12分）
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，若線段的垂直平分線經(jīng)過點，求
（為原點）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點）.點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點.
（i）設(shè)直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；
（ii）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

點、是雙曲線右支上的兩點，中點到軸的距離為，則的最大值為      

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