Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，已知曲線y=f（x）在x=±1處的切線的傾斜角均為

3

4

π．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若直線y=3與曲線y=f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，曲線y=f（x）在x=±1處的切線的傾斜角均為

3

4

π，建立方程，即可利用求a，b的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的極大值、極小值，利用直線y=3與曲線y=f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，即可求c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵曲線y=f（x）在x=±1處的切線的傾斜角均為

3

4

π，
∴3+2a+b=3-2a+b=-1，
∴a=0，b=-4；
（Ⅱ）f（x）=x³-4x+c，
∴f′（x）=3x²-4=0，可得x=±

2 3

3

，
函數(shù)在（-∞，

2 3

3

），（

2 3

3

，+∞）上單調(diào)遞增，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上單調(diào)遞減，
∴x=-

2 3

3

時(shí)，函數(shù)取得極大值

16 3

3

+c，x=

2 3

3

時(shí)，函數(shù)取得極小值-

16 3

3

+c，
∵直線y=3與曲線y=f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，
∴-

16 3

3

+c＜3＜

16 3

3

+c，
∴3-

16 3

3

＜c＜3+

16 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于中檔題．