【題目】已知.

1)當時,不等式恒成立,求m的取值范圍;

2)求證:當時,.

【答案】1.(2)證明見解析

【解析】

1)依題意,當x≥0時,恒成立.

設(shè),則x≥0時,k(x)≥0恒成立,

,則x>0時,,k(x)[0,+∞)上為增函數(shù).

于是,x≥0時,k(x)≥k(0)=0.因此,符合要求.

,則2m>10<x<ln(2m)時,k'(x)<0k(x)上為減函數(shù).

于是,.因此,不符合要求.

所以m的取值范圍為.

2)解法一:設(shè),則.

x<ln4時,g'(x)<0;當x>ln4時,g'(x)>0

所以g(x)(-∞ln4]上為減函數(shù),在[ln4,+∞)上為增函數(shù).

所以g(x)≥g(ln4)=4-4ln4.

由此可得,g(x)=ex-4x≥4-4ln4,即

當且僅當x=ln4時等號成立.

所以x>0時,,

當且僅當x=ln4時等號成立.

設(shè)h(x)=4x-4lnx-4,則.

0<x<1時,h'(x)<0;當x>1時,h'(x)>0.

所以h(x)(0,1]上為減函數(shù),在[1,+∞)上為增函數(shù).

所以h(x)≥h1=0,即,

當且僅當x=1時等號成立..

由于上述兩個等號不同時成立,因此.

所以當x>0時,f(x)>4lnx+8-8ln2.

解法二:設(shè),

.

g"(x)=,知g'(x)為增函數(shù).

g'1=e-4<0,g'2=e2-2>0,因此,g'(x)有唯一零點,設(shè)為x0.

x0(1,2),且0<x<x0時,g'(x)<0x>x0時,g'(x)>0

所以g(x)在區(qū)間(0,x0]上為減函數(shù),在區(qū)間[x0,+∞)上為增函數(shù).

所以g(x)有最小值.

又由,知

兩邊取對數(shù),得.

所以

.

所以當x>0時,g(x)≥g(x0)>0,故當x>0時,.

練習(xí)冊系列答案
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(2)若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率,并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5,各人是否解開密碼鎖相互獨立.

求該團隊能進入下一關(guān)的概率;

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3)如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況,現(xiàn)從全市考生中隨機抽取4名考生,記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為,求.(精確到0.001

附:

,則

.

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A. B.

C. D.

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