Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．
（1）證明：[0，1]是函數(shù)y=f（x）=x²的一個“和諧區(qū)間”．
（2）求證：函數(shù)y=g(x)=3-

5

x

不存在“和諧區(qū)間”．
（3）已知：函數(shù)y=h(x)=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和諧區(qū)間”[m，n]，當(dāng)a變化時，求出n-m的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們可以出y=f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，且值域也為[0，1]滿足“和諧區(qū)間”的定義，即可得到結(jié)論．
（2）該問題是一個確定性問題，從正面證明有一定的難度，故可采用反證法來進(jìn)行證明，即先假設(shè)區(qū)間[m，n]為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到矛盾，進(jìn)而得到假設(shè)不成立，原命題成立．
（3）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集，我們可以用a表示出n-m的取值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到答案．

解答：解：（1）∵y=x²在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增．（2分）
又f（0）=0，f（1）=1，∴值域為[0，1]，∴區(qū)間[0，1]是y=f（x）=x²的一個“和諧區(qū)間”．（4分）
（2）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數(shù)y=3-

5

x

在[m，n]上單調(diào)遞增．
若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

g(m)=m g(n)=n

（8分）
故m、n是方程3-

5

x

=x的同號的相異實數(shù)根．∵x²-3x+5=0無實數(shù)根，∴函數(shù)y=3-

5

x

不存在“和諧區(qū)間”．（10分）
（3）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上單調(diào)遞增．
若[m，n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則

h(m)=m h(n)=n

（14分）
故m、n是方程

a+1

a

-

1

a2x

=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數(shù)根．∵mn=

1

a2

＞0，∴m，n同號，只須△=a²（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3時，已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m，n]，∵n-m=

(n+m)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，∴當(dāng)a=3時，n-m取最大值

2 3

3

（18分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，（2）中的確定性問題，要注意建立“正難則反”的思想，選擇反證法來簡化證明過程．